Глеб Григорьевич Акулов родился в 1916 году в Ставрополе.
Окончил общеобразовательную школу при Московском заводе № 22, где в 1933-1934 г.г. работал токарем-механиком. Затем служил на Северной железной дороге.
Печатался с 1935 года.
С 1937 по 1940 г.г. работал во Всесоюзном радиокомитете, последняя должность - главный редактор литературно-драматического вещания.
В 1938 году Акулов показал Николаю Будашкину своё стихотворение "За дальнею околицей", к которому композитор сочинил музыку, но не вынес эту песню для широкого показа.
В 1940 году поэт окончил Литературный институт, а в сентябре этого года был призван на действительную военную службу.
30 июля 1941 года, в самом начале Великой Отечественной войны, Глеб Акулов погиб в бою на белорусской земле.
В январе 1942 года в осаждённом фашистами Ленинграде состоялась премьера мелодии песни "За дальнею околицей" в исполнении оркестра Балтийского флота. Музыка понравилась ленинградцам и вскоре песня со словами прозвучала по радио, была записана на грампластинки и стала одной из любимейших в народе.