Анатолий Дмитриевич Быканов родился 20 марта 1937 года в городе Прохладный, Кабардино-Балкария. В 1962 году окончил Московскую консерваторию по классу композиции С.А.Баласаняна (ранее занимался в классе Д.Б.Кабалевского).

Помимо академической музыки, композитор много времени уделял «легким» и прикладным жанрам. Известностью пользовались такие его работы, как музыка к мультфильмам «Малышок и черная маска» (1970 г.), «Яблоко» (1972 г.), «Сказка о попе и работнике его Балде» (1973 г.), «Одуванчик» (1975 г.), «Горный мастер» (1978 г.), «Салют, Олимпиада!» (1979 г.), лентам из циклов «Волшебник Изумрудного города» (1973 – 1974 гг.), «Дядя Фёдор, пес и кот» (1975 – 1976 гг.) и др.; оригинальная музыка к телепередаче «Кабачок 13 стульев».

Ансамбль «Рококо» был создан им около 1965 г. Основу этого студийного коллектива составляли музыканты Большого симфонического оркестра Центрального телевидения и Всесоюзного радио. В середине 1970-х руководство проектом перешло к флейтисту и дирижеру Александру Корнееву.